मान लीजिए x और y दो 2-अंकीय संख्याएँ हैं,जहाँ | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $x = 10a + b$ और $y = 10b + a$,जहाँ $a$ और $b$ अंक हैं $(a, b \in \{1, 2, \dots, 9\})$।दिया गया है $x^2 - y^2 = m^2$,अतः $(10a + b)^2 -

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$154$

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(D) मान लीजिए $x = 10a + b$ और $y = 10b + a$,जहाँ $a$ और $b$ अंक हैं $(a, b \in \{1, 2, \dots, 9\})$।दिया गया है $x^2 - y^2 = m^2$,अतः $(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = m^2$।सर्वसमिका $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ का उपयोग करने पर,$(10a + b + 10b + a)(10a + b - 10b - a) = m^2$।$(11a + 11b)(9a - 9b) = m^2$।$99(a^2 - b^2) = m^2$।$9 	imes 11(a^2 - b^2) = m^2$।इसे पूर्ण वर्ग होने के लिए,$(a^2 - b^2)$ को $11k^2$ के रूप में होना चाहिए। चूँकि $a, b$ अंक हैं,$a^2 - b^2$ अधिकतम $81$ हो सकता है। अतः,$a^2 - b^2 = 11 	imes 1^2 = 11$।$(a-b)(a+b) = 11$। चूँकि $11$ अभाज्य है,$a-b = 1$ और $a+b = 11$ होगा।जोड़ने पर,$2a = 12 \Rightarrow a = 6$। अतः $b = 5$।इस प्रकार,$x = 65$ और $y = 56$।$m^2 = 65^2 - 56^2 = (65-56)(65+56) = 9 	imes 121 = 1089 = 33^2$,अतः $m = 33$।$x + y + m = 65 + 56 + 33 = 154$।

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