$0, 1, 2, 3, 4$ और $5$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $3$ से विभाज्य पाँच अंकों की एक संख्या बनानी है। ऐसा करने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है। मान लीजिए $x$ समुच्चय $S$ के अंकों का उपयोग करके बनाई गई $9$-अंकीय संख्याओं की संख्या है, जिसमें केवल एक अंक दोहराया जाता है और वह ठीक दो बार दोहराया जाता है। मान लीजिए $y$ समुच्चय $S$ के अंकों का उपयोग करके बनाई गई $9$-अंकीय संख्याओं की संख्या है, जिसमें केवल दो अंक दोहराए जाते हैं और उनमें से प्रत्येक ठीक दो बार दोहराया जाता है। तो,

एक $5$-अंकीय संख्या $\overline{abcde}$ को जब $9$ से गुणा किया जाता है,तो $5$-अंकीय संख्या $\overline{edcba}$ प्राप्त होती है। संख्या के अंकों का योग है:

एक समुच्चय में $2n + 1$ अवयव हैं। इस समुच्चय के $n$ से अधिक अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या किसके बराबर है?

$^{37}C_4 + \sum_{r=1}^{5} {^{(42-r)}C_r} = $

$0, 1, 2, 5, 9$ अंकों का उपयोग करके $5000$ से बड़ी और $9000$ से छोटी ऐसी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जो $3$ से विभाज्य हों, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है?