एक समुच्चय में 2n + 1 अवयव हैं। इस समुच्चय के | vedclass

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Question

(D) माना समुच्चय $S$ में $2n + 1$ अवयव हैं। हमें $n$ से अधिक अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है $n+1, n+2, \dots, 2n+1$ अवयव

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$2^{2n}$

Vedclass · Answer

(D) माना समुच्चय $S$ में $2n + 1$ अवयव हैं। हमें $n$ से अधिक अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है $n+1, n+2, \dots, 2n+1$ अवयव वाले उपसमुच्चय।ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या का योग: $S = \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n+2} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1}$ है।संचय के गुण $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ का उपयोग करते हुए:$\binom{2n+1}{n+1} = \binom{2n+1}{n}$,$\binom{2n+1}{n+2} = \binom{2n+1}{n-1}$,इत्यादि।अतः,$S = \binom{2n+1}{n} + \binom{2n+1}{n-1} + \dots + \binom{2n+1}{0}$ है।हम जानते हैं कि $2n+1$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $\sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n+1}$ होती है।चूंकि $\binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \dots + \binom{2n+1}{n} = \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n+2} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1} = S$,इसलिए $2S = 2^{2n+1}$ है।अतः,$S = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$।

	List-$I$		List-$II$
$(A)$	$n$ भिन्न वस्तुओं में से $(n-r)$ वस्तुओं को न चुनने के तरीकों की संख्या	$(I)$	$1+n+{ }^n C_2+\ldots+{ }^n C_r$
$(B)$	$(n-r+1) \cdot{ }^n C_{r-1}$	$(II)$	$(r+1) \cdot{ }^n C_{r+1}$
$(C)$	$n$ भिन्न वस्तुओं में से कम से कम $(n-r)$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या	$(III)$	$r\left({ }^n C_r\right)$
$(D)$	$(n-r)\left({ }^{n-1} C_{r-1}+{ }^{n-1} C_r\right)$	$(IV)$	$2^n-1-n-{ }^n C_2-\ldots-{ }^n C_r$
		$(V)$	${ }^n C_{n-r}$

एक समुच्चय में $2n + 1$ अवयव हैं। इस समुच्चय के $n$ से अधिक अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या किसके बराबर है?

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