सम्मिश्र संख्याओं p की संख्या ज्ञात कीजिए ताक | vedclass

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Question

(C) माना $p = e^{i	heta} = \cos 	heta + i \sin 	heta$, जहाँ $|p| = 1$ है। तब $p^{4} = e^{i4	heta} = \cos(4	heta) + i \sin(4	heta)$। $p^{4}$ का क

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$8$

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(C) माना $p = e^{i	heta} = \cos 	heta + i \sin 	heta$, जहाँ $|p| = 1$ है। तब $p^{4} = e^{i4	heta} = \cos(4	heta) + i \sin(4	heta)$। $p^{4}$ का काल्पनिक भाग $\sin(4	heta)$ है। हमें दिया गया है कि $	ext{Im}(p^{4}) = 0$, इसलिए $\sin(4	heta) = 0$। इसका अर्थ है कि $4	heta = n\pi$ किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए, या $	heta = \frac{n\pi}{4}$। $p$ के लिए इकाई वृत्त पर भिन्न मान प्राप्त करने हेतु, हम $	heta \in [0, 2\pi)$ पर विचार करते हैं। $	heta$ के संभावित मान $0, \frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{4\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{6\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ हैं। इस प्रकार, $	heta$ के $8$ मान प्राप्त होते हैं, जो $8$ भिन्न सम्मिश्र संख्याओं $p$ के संगत हैं।

सम्मिश्र संख्याओं $p$ की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $|p|=1$ और $p^{4}$ का काल्पनिक भाग $0$ हो:

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मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल हैं। वह समीकरण जिसके मूल $\alpha^{19}$ और $\beta^7$ हैं,वह है

$\sum_{k=1}^{6} (\sin \frac{2 \pi k}{7} - i \cos \frac{2 \pi k}{7}) = $

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-2x+2=0$ के मूल हैं,तो $\alpha^{2020}+\beta^{2020}=$

जब $n=8$ हो,तब $(\sqrt{3}+i)^n+(\sqrt{3}-i)^n=$

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2-x+1=0$ के मूल हैं,तो $\alpha^{2009}+\beta^{2009}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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