यदि alpha और beta समीकरण x^2-x+1=0 के मूल हैं | vedclass

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Question

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-x+1=0$ है। इसके मूल $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\omega$ और $-\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल

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(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-x+1=0$ है। इसके मूल $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\omega$ और $-\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है। माना $\alpha = -\omega$ और $\beta = -\omega^2$ है। हमें $\alpha^{2009} + \beta^{2009} = (-\omega)^{2009} + (-\omega^2)^{2009}$ का मान ज्ञात करना है। यह $-(\omega^{2009} + \omega^{4018})$ के बराबर है। चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{2009} = \omega^2$ और $\omega^{4018} = \omega$ होगा। अतः,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(\omega^2 + \omega)$। सर्वसमिका $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$\omega^2 + \omega = -1$ प्राप्त होता है। इसलिए,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(-1) = 1$।

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2-x+1=0$ के मूल हैं,तो $\alpha^{2009}+\beta^{2009}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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