અંતરાલ $-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ માં $\left|\begin{array}{lll}\sin x & \cos x & \cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}\right|=0$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

વિધેય $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & |x| & x^2 \\ 1 & |x-1| & (x-1)^2 \\ 1 & |x-2| & (x-2)^2 \end{array} \right|$ જે $x$ ની વાસ્તવિક કિંમતો માટે વિકલનીય નથી,તેની સંખ્યા કેટલી છે?

જો શ્રેણિક $A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha\end{array}\right]$ નો નિશ્ચાયક (rank) $3$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

શ્રેણિક $A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ -4 & 4 & 0 & 8 \\ -2 & 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (Rank) શોધો.

જો સદિશો $\vec{\alpha}=\hat{i}+a \hat{j}+a^{2} \hat{k}$, $\vec{\beta}=\hat{i}+b \hat{j}+b^{2} \hat{k}$, અને $\vec{\gamma}=\hat{i}+c \hat{j}+c^{2} \hat{k}$ એ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \\ b & b^{2} & 1+b^{3} \\ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}\right|=0$ હોય, તો $abc$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a & -1 & 0 \\ ax & a & -1 \\ ax^2 & ax & a \end{array}\right|$,જ્યાં $a \in R$. તો $a$ ની તમામ કિંમતો જેના માટે $2f'(10) - f'(5) + 100 = 0$ થાય,તેના વર્ગોનો સરવાળો કેટલો થાય?