समुच्चय S = {x : x in [0, 100] text{ और } int | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) माना $I = \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt$. गुणधर्म $\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} f(x-t) dt$ का उपयोग करने पर, हमें मिलता है $I = \int_{0}^

Vedclass · Accepted Answer

$16$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt$. गुणधर्म $\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} f(x-t) dt$ का उपयोग करने पर, हमें मिलता है $I = \int_{0}^{x} (x-t)^{2} \sin(t) dt$. इसका विस्तार करने पर, $I = \int_{0}^{x} (x^{2} - 2xt + t^{2}) \sin(t) dt = x^{2} \int_{0}^{x} \sin(t) dt - 2x \int_{0}^{x} t \sin(t) dt + \int_{0}^{x} t^{2} \sin(t) dt$. समाकलनों का मूल्यांकन करने पर: $1. \int_{0}^{x} \sin(t) dt = [-\cos(t)]_{0}^{x} = 1 - \cos(x)$. $2. \int_{0}^{x} t \sin(t) dt = [-t \cos(t)]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} \cos(t) dt = -x \cos(x) + \sin(x)$. $3. \int_{0}^{x} t^{2} \sin(t) dt = [-t^{2} \cos(t)]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t \cos(t) dt = -x^{2} \cos(x) + 2(t \sin(t) + \cos(t))_{0}^{x} = -x^{2} \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 2$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = x^{2}(1 - \cos(x)) - 2x(-x \cos(x) + \sin(x)) + (-x^{2} \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 2) = x^{2} + 2 \cos(x) - 2$. दिया गया है कि $I = x^{2}$, अतः $x^{2} + 2 \cos(x) - 2 = x^{2}$, जो सरल होकर $2 \cos(x) = 2$ या $\cos(x) = 1$ हो जाता है। $x \in [0, 100]$ के लिए, $\cos(x) = 1$ का अर्थ है $x = 2n\pi$, जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$. चूँकि $2n\pi \le 100$, इसलिए $n \le \frac{100}{2\pi} \approx 15.92$. अतः, $n$ के मान $0, 1, 2, \dots, 15$ हो सकते हैं, जो कुल $16$ मान देते हैं।

समुच्चय $S = \{x : x \in [0, 100] \text{ और } \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt = x^{2}\}$ में अवयवों की संख्या है:

Similar Questions

$\int_0^{\pi /2} \frac{d\theta}{1 + \tan \theta} = $

यदि $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(\sin x) \,dx$,$J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(\cos x) \,dx$,और $K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx$ है,तो:

यदि $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + \sin x + \cos x} = \ln 2$ दिया गया है,तो निश्चित समाकल $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3 \, dx}{1+e^{\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)}}$

$\alpha > 0$ के लिए $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+\alpha^x} \, dx$ का मान है

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module