$p$ के उन पूर्णांक मानों की संख्या जिनके लिए सदिश $(p+1) \hat{i} - 3 \hat{j} + p \hat{k}$,$p \hat{i} + (p+1) \hat{j} - 3 \hat{k}$,और $-3 \hat{i} + p \hat{j} + (p+1) \hat{k}$ रैखिक रूप से आश्रित हैं,है:

मान लीजिए कि $a, b$ और $c$ भिन्न गैर-ऋणात्मक संख्याएँ हैं। यदि सदिश $a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$,$\hat{i} + \hat{k}$ और $c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ समतलीय हैं,तो $c = \dots$

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$A$. तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनमें से एक को अन्य दो के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सके।
$R$. कोई भी तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं।
तो, निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+\hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{j})+\hat{k} \cdot(\hat{j} \times \hat{i})+\hat{i} \cdot(\hat{k} \times \hat{j})$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए $\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$, $\overrightarrow{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{c}=\lambda \hat{i}+\hat{j}+(2 \lambda-1) \hat{k}$ है। यदि $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ वाले समतल के समानांतर है, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना कि $\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\overrightarrow{c}=p\hat{i}+q \hat{j}$ और $\overrightarrow{d}=p \hat{j}-q \hat{k}$ चार सदिश हैं। यदि $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=3=(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{d}$ है,तो $3 p+q=$