क्रमित युग्मों $(r, k)$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot ^{36}C_{r+1}$ है,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।

$UNIVERSE$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके,बिना पुनरावृत्ति के,$2$ स्वरों और $2$ व्यंजनों वाले $4$ अक्षरों के कितने शब्द (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) बनाए जा सकते हैं?

एक छात्र को $2n+1$ पुस्तकों के संग्रह में से अधिकतम $n$ पुस्तकें चुनने की अनुमति है। यदि उसके द्वारा कम से कम एक पुस्तक चुनने के कुल तरीकों की संख्या $255$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

$22$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों की एक टीम का चयन किया जाना है। यदि $2$ विशिष्ट खिलाड़ियों को हर टीम में शामिल किया जाना है और $4$ विशिष्ट खिलाड़ियों को हमेशा बाहर रखा जाना है,तो यह चयन कितने तरीकों से किया जा सकता है?

एक पुस्तकालय में $n$ भिन्न पुस्तकें हैं और प्रत्येक की $p$ प्रतियाँ हैं। एक या एक से अधिक पुस्तकें चुनने के तरीकों की संख्या क्या है?

एक पंक्ति में $10$ बिंदु हैं। $4$ बिंदुओं को कितनी तरह से चुना जा सकता है कि उनमें से कोई भी दो लगातार न हों?