एक पंक्ति में $10$ बिंदु हैं। $4$ बिंदुओं को कितनी तरह से चुना जा सकता है कि उनमें से कोई भी दो लगातार न हों?

कथन-$1$: $10$ समान गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में $^9C_3$ तरीकों से वितरित किया जा सकता है ताकि कोई भी बक्सा खाली न रहे।
कथन-$2$: $9$ स्थानों में से किन्हीं $3$ स्थानों को $^9C_3$ तरीकों से चुना जा सकता है।

यदि $^{n + 1}C_3 = 2 \cdot ^nC_2$ है,तो $n =$

एक दुकान में $5$ प्रकार की आइसक्रीम उपलब्ध हैं। एक बच्चा $6$ आइसक्रीम खरीदता है।
कथन-$1$: बच्चा $6$ आइसक्रीम $^{10}C_5$ तरीकों से खरीद सकता है।
कथन-$2$: बच्चे द्वारा $6$ आइसक्रीम खरीदने के तरीकों की संख्या,$6$ '$A$' और $4$ '$B$' को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या के बराबर है.

कथन-$1:$ $10$ समान गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,$^9C_3$ है।
कथन-$2:$ $9$ अलग-अलग स्थानों में से किन्हीं $3$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या $^9C_3$ है।

एक थैले में $5$ काली और $6$ लाल गेंदें हैं। $2$ काली और $3$ लाल गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए।