$1, 2, 3, ..., 7$ अंकों के बिना पुनरावृत्ति वाले ऐसे कितने क्रमचय हैं जिनमें न तो $153$ स्ट्रिंग है और न ही $2467$ स्ट्रिंग है?

भौतिकी के लिए $3$,गणित के लिए $5$ और रसायन विज्ञान के लिए $4$ छात्रवृत्ति आवेदक हैं। इन छात्रवृत्तियों में से एक को कितने अलग-अलग तरीकों से प्रदान किया जा सकता है?

$n$ समरूप वस्तुओं और $k$ भिन्न पात्रों के संबंध में निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$i.$ $n$ समरूप वस्तुओं को $k$ भिन्न पात्रों में $(k \leq n)$ इस प्रकार रखने के तरीकों की संख्या कि कोई भी पात्र खाली न रहे, ${}^{n-1}C_{k-1}$ है।
$ii.$ एक धनात्मक पूर्णांक $n$ को $k$ धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में लिखने के तरीकों की संख्या ${}^{n-1}C_{k-1}$ है।
$iii.$ $n$ समरूप वस्तुओं को $k$ भिन्न पात्रों में इस प्रकार रखने के तरीकों की संख्या कि कम से कम एक पात्र खाली न हो, ${}^{n-1}C_{k-1}$ है।
$iv.$ ${}^nC_k - {}^{n-1}C_k = {}^{n-1}C_{k-1}$.
उपरोक्त में से कौन से कथन सत्य हैं?

$5$ अंकों के उन टेलीफोन नंबरों की संख्या क्या है जिनमें कम से कम एक अंक की पुनरावृत्ति होती है?

प्राकृत संख्या $n$ के लिए,असमिका $2^n(n - 1)! < n^n$ कब सत्य है?

$n \in N$ के किस मान के लिए,$n!$ में $13$ अंतिम शून्य (trailing zeros) होंगे?