फलन f(x) = [frac{x^2}{2}] - [sqrt{x}] के लिए | vedclass

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Question

(A) माना $g(x) = [\frac{x^2}{2}]$ और $h(x) = [\sqrt{x}]$ है। फलन $f(x) = g(x) - h(x)$ उन बिंदुओं पर असंतत होता है जहाँ $g(x)$ या $h(x)$ असंतत होते हैं

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$8$

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(A) माना $g(x) = [\frac{x^2}{2}]$ और $h(x) = [\sqrt{x}]$ है। फलन $f(x) = g(x) - h(x)$ उन बिंदुओं पर असंतत होता है जहाँ $g(x)$ या $h(x)$ असंतत होते हैं, बशर्ते उनके जंप एक-दूसरे को निरस्त न करें।$g(x) = [\frac{x^2}{2}]$ तब असंतत होता है जब $\frac{x^2}{2} = k$, जहाँ $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$, जिससे $x^2 \in \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}$ प्राप्त होता है। अतः $x \in \{\sqrt{2}, 2, \sqrt{6}, \sqrt{8}, \sqrt{10}, \sqrt{12}, \sqrt{14}, 4\}$।$h(x) = [\sqrt{x}]$ तब असंतत होता है जब $\sqrt{x} = k$, जहाँ $k \in \{1, 2\}$, जिससे $x \in \{1, 4\}$ प्राप्त होता है।असंतत बिंदुओं का संभावित समुच्चय $S = \{1, \sqrt{2}, 2, \sqrt{6}, \sqrt{8}, 3, \sqrt{10}, \sqrt{12}, \sqrt{14}, 4\}$ है।हालाँकि, $x=4$ पर, $g(x)$ का मान $7$ से $8$ तक और $h(x)$ का मान $1$ से $2$ तक कूदता है। चूँकि $f(4) = [8] - [2] = 6$ और $\lim_{x 	o 4^-} f(x) = 7 - 1 = 6$ है, अतः $f(x)$ बिंदु $x=4$ पर संतत है।समुच्चय से $x=4$ को हटाने पर, हमें $9$ बिंदु मिलते हैं। $x=2$ की जाँच करने पर, $g(x)$ असंतत है और $h(x)$ संतत है, अतः $f(x)$ बिंदु $x=2$ पर असंतत है। अन्य सभी बिंदु असंततता के अलग-अलग बिंदु हैं। कुल बिंदु = $8$।

फलन $f(x) = [\frac{x^2}{2}] - [\sqrt{x}]$ के लिए $x \in [0, 4]$ अंतराल में असंतत बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए, जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है:

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यदि फलन $f(x) = \begin{cases} x - \frac{|x|}{x}, & x < 0 \\ x + \frac{|x|}{x}, & x > 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ है,तो निम्नलिखित में से क्या सत्य है?

$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{\alpha x} - e^{x} - x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ \frac{3}{2}, & x = 0 \end{cases}$ $\alpha$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए फलन $f$ सतत है।

फलन $f$ की सांतत्यता पर चर्चा कीजिए,जो इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} x + 2, & \text{यदि } x \le 1 \\ x - 2, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$

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