$xyz = 60$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या क्या है?

मान लीजिए $S$ उन सभी पासवर्डों का सेट है जो $6$ से $8$ अक्षर लंबे हैं,जहाँ प्रत्येक अक्षर या तो $\{A, B, C, D, E\}$ से एक वर्णमाला है या $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ से एक संख्या है,जिसमें अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति है। यदि $S$ में उन पासवर्डों की संख्या जिनमें कम से कम एक अक्षर $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ से एक संख्या है,$\alpha \times 5^{6}$ है,तो $\alpha$ का मान $.......$ है।

$5$ व्यंजन और $4$ स्वर में से $3$ व्यंजन और $2$ स्वर का उपयोग करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

$'EXAMINATION'$ शब्द के ग्यारह अक्षरों से बनाए जा सकने वाले $4$ अक्षरों वाले शब्दों (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) की संख्या क्या है?

छात्रों $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{10}$ को $3$ समूहों $A, B$ और $C$ में इस प्रकार विभाजित किया जाना है कि प्रत्येक समूह में कम से कम एक छात्र हो और समूह $C$ में अधिकतम $3$ छात्र हों। तो ऐसे समूहों को बनाने की कुल संभावनाओं की संख्या ........ है।

$(2n + 1) (2n + 3) (2n + 5) \dots (4n - 1)$ किसके बराबर है?