(sqrt[4]{5}+sqrt[5]{4})^{100} के द्विपद विस्त | vedclass

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Question

(C) $(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ के विस्तार में सामान्य पद इस प्रकार है:$T_{r+1} = {}^{100}C_r (5^{1/4})^{100-r} (4^{1/5})^r$$T_{r+1} = {}^{100}C

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$6$

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(C) $(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ के विस्तार में सामान्य पद इस प्रकार है:$T_{r+1} = {}^{100}C_r (5^{1/4})^{100-r} (4^{1/5})^r$$T_{r+1} = {}^{100}C_r 5^{\frac{100-r}{4}} 4^{\frac{r}{5}}$पद के परिमेय होने के लिए,$5$ और $4$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।अतः,$\frac{100-r}{4}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$4$ का गुणज होना चाहिए (अर्थात $r \in \{0, 4, 8, \dots, 100\}$)।साथ ही,$\frac{r}{5}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$5$ का गुणज होना चाहिए (अर्थात $r \in \{0, 5, 10, \dots, 100\}$)।इसलिए,$r$,$	ext{lcm}(4, 5) = 20$ का गुणज होना चाहिए।$r$ के संभावित मान $0, 20, 40, 60, 80, 100$ हैं।इन मानों को गिनने पर,हमें $6$ पद प्राप्त होते हैं।अतः,परिमेय पदों की संख्या $6$ है।

$(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ के द्विपद विस्तार में परिमेय पदों की संख्या है

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${\left[ {\sqrt{\frac{x}{3}} + \frac{{\sqrt{3}}}{{{x^2}}}} \right]^{10}}$ में $x$ से स्वतंत्र पद है

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