$\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2}$ के वास्तविक हलों की संख्या है

मान लीजिए $E_1 = \{x \in R : x \neq 1 \text{ और } \frac{x}{x-1} > 0\}$ और $E_2 = \{x \in E_1 : \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1})) \text{ एक वास्तविक संख्या है}\}$. (यहाँ,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\sin^{-1} x$ का मान $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में होता है)। मान लीजिए $f : E_1 \rightarrow R$ फलन $f(x) = \log_e(\frac{x}{x-1})$ द्वारा परिभाषित है और $g : E_2 \rightarrow R$ फलन $g(x) = \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1}))$ द्वारा परिभाषित है। $LIST I$ की वस्तुओं को $LIST II$ के साथ सुमेलित करें।

$\sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ के सापेक्ष $\tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{x} \right)$ का अवकलज है...

$x$ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ $x>0$ और $\tan \left(\sec ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\sin \left(\tan ^{-1} 2\right)$ है।

$\tan ^{-1} x+\cos ^{-1}\left(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\right)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या क्या है?

दिया गया है कि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान ग्रहण करता है। मान लीजिए $x, y$ अंतराल $[-1, 1]$ में कोई दो वास्तविक संख्याएँ हैं,इस प्रकार कि $\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} y = \alpha$,जहाँ $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \pi$ है। तब,$x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha$ का न्यूनतम मान है