$4$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના સ્વવાચક સંબંધોની સંખ્યા કેટલી થાય?

ધારો કે $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $R = \{(1, 2), (2, 3), (1, 4)\}$ એ $A$ પરનો સંબંધ છે. ધારો કે $S$ એ $A$ પરનો સૌથી નાનો સામ્ય સંબંધ છે જેથી $R \subset S$ થાય. જો $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $L$ એ સમતલની બધી રેખાઓનો ગણ છે અને $R$ એ $L$ પરનો સંબંધ છે જે $R = \{(L_{1}, L_{2}) : L_{1} \text{ એ } L_{2} \text{ ને લંબ છે}\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $R$ સંમિત છે પરંતુ સ્વવાચક કે પરંપરિત નથી.

ધારો કે $R$ એ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ છે,જ્યાં $R = \{(a, b) : a\}$ અને $b$ બંને એકી અથવા બંને બેકી છે. સાબિત કરો કે $R$ એ સામ્ય સંબંધ છે. વધુમાં,સાબિત કરો કે ઉપગણ $\{1, 3, 5, 7\}$ ના તમામ ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધિત છે અને ઉપગણ $\{2, 4, 6\}$ ના તમામ ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધિત છે,પરંતુ ઉપગણ $\{1, 3, 5, 7\}$ નો કોઈ પણ ઘટક ઉપગણ $\{2, 4, 6\}$ ના કોઈ પણ ઘટક સાથે સંબંધિત નથી.

સંબંધો $S = \{(a, b) : a, b \in R - \{0\}, 2 + \frac{a}{b} > 0\}$ અને $T = \{(a, b) : a, b \in R, a^2 - b^2 \in Z\}$ પૈકી,નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

નીચેનો સંબંધ સ્વવાચક (reflexive),સંમિત (symmetric) અને પરંપરિત (transitive) છે કે નહીં તે નક્કી કરો:
કોઈ ચોક્કસ સમયે એક નગરમાં વસતા મનુષ્યોના ગણ $A$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R$:
$R = \{(x, y) : x \text{ એ } y \text{ કરતા બરાબર } 7 \, cm \text{ વધારે ઊંચો છે}\}$