$1, 2,$ और $3$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई सात अंकों की ऐसी पूर्णांक संख्याओं की संख्या क्या है जिनके अंकों का योग $10$ है?

$A, B, C, D, E, F, G, H, I, J$ अक्षरों का उपयोग करके $10$ लंबाई के शब्द बनाए जाते हैं। मान लीजिए $x$ ऐसे शब्दों की संख्या है जिनमें कोई अक्षर दोहराया नहीं जाता है और $y$ ऐसे शब्दों की संख्या है जिनमें ठीक दो अक्षर दो बार दोहराए जाते हैं और कोई अन्य अक्षर दोहराया नहीं जाता है,तो $\frac{y}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$1000$ और $10000$ के बीच ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिनमें अंक $3$ और $7$ केवल एक बार बिना पुनरावृत्ति के आते हैं?

$^{80}C_{40}$ निम्नलिखित में से किससे विभाज्य नहीं है?

${2^n} \{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 3) \cdot (2n - 1) \}$ का मान है

$ANIMAL$ शब्द के सभी अक्षरों को सभी संभावित तरीकों से व्यवस्थित किया जाता है और इस प्रकार बने क्रमचयों को शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। यदि $ANIMAL$ शब्द का रैंक $x$ है,तो $PERSON$ शब्द के अक्षरों को व्यवस्थित करके प्राप्त क्रमचयों को शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित करने पर,$x$ रैंक वाला क्रमचय कौन सा है?