નીચેના સમીકરણો $x_2 - x_3 = 1$,$-x_1 + 2x_3 = -2$,$x_1 - 2x_2 = 3$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $A.P.$ ના કોઈપણ ત્રણ અલગ-અલગ ક્રમિક પદો $a, b, c$ માટે,રેખાઓ $ax + by + c = 0$ બિંદુ $P$ પર સંગામી છે અને $Q(\alpha, \beta)$ એક એવું બિંદુ છે કે જેથી સમીકરણોની સંહતિ $x + y + z = 6$,$2x + 5y + \alpha z = \beta$ અને $x + 2y + 3z = 4$ ને અનંત ઉકેલો છે. તો $(PQ)^2$ બરાબર . . . . . . છે.

સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ માટે:
$x - 2y = 1, x - y + kz = -2, ky + 4z = 6, k \in R$
નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(A)$ જો $k \neq 2, k \neq -2$ હોય તો સંહતિને અનન્ય ઉકેલ છે.
$(B)$ જો $k = -2$ હોય તો સંહતિને અનન્ય ઉકેલ છે.
$(C)$ જો $k = 2$ હોય તો સંહતિને અનન્ય ઉકેલ છે.
$(D)$ જો $k = 2$ હોય તો સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.
$(E)$ જો $k \neq -2$ હોય તો સંહતિને અનંત ઉકેલો છે.
નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?

જો સમીકરણોની સિસ્ટમ,$a^2 x - ay = 1 - a$ અને $bx + (3 - 2b) y = 3 + a$ નો અનન્ય ઉકેલ $x = 1, y = 1$ હોય,તો:

સમીકરણોની સિસ્ટમ $x + 3y + 7 = 0$, $3x + 10y - 3z + 18 = 0$ અને $3y - 9z + 2 = 0$ માટે

ધારો કે $\alpha$ એ $x^2+x+1=0$ નો ઉકેલ છે,અને કેટલાક $a$ અને $b$ માટે $\mathbb{R}$ માં,$\begin{bmatrix} 4 & a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 16 & 13 \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & -14 & -8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ છે. જો $\frac{4}{\alpha^4} + \frac{m}{\alpha^a} + \frac{n}{\alpha^b} = 3$ હોય,તો $m + n$ ની કિંમત શોધો.