મેટ્રિક્સ સમીકરણ X^2 = begin{bmatrix} 1 & 1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $X = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$.તેથી $X^2 = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix} = \b

Vedclass · Accepted Answer

$2$ કરતા વધારે

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $X = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$.તેથી $X^2 = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 2 & 3 \end{bmatrix}$.ઘટકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:$1) a^2 + bc = 1$$2) b(a + d) = 1$$3) c(a + d) = 2$$4) bc + d^2 = 3$$(2)$ અને $(3)$ પરથી,$\frac{c}{b} = 2$,તેથી $c = 2b$.$(4)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,$d^2 - a^2 = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે $(d - a)(d + a) = 2$.$(2)$ પરથી,$a + d = \frac{1}{b}$. આ કિંમત અગાઉના સમીકરણમાં મૂકતા,$d - a = 2b$ મળે છે.$d - a = 2b$ અને $d + a = \frac{1}{b}$ નો સરવાળો અને બાદબાકી કરતા,$d = b + \frac{1}{2b}$ અને $a = \frac{1}{2b} - b$ મળે છે.$a$ અને $c$ ની કિંમત $a^2 + bc = 1$ માં મૂકતા,$(\frac{1}{2b} - b)^2 + b(2b) = 1$ મળે છે.$\frac{1}{4b^2} - 1 + b^2 + 2b^2 = 1 \implies 3b^2 + \frac{1}{4b^2} = 2$.ધારો કે $u = b^2$. તો $3u + \frac{1}{4u} = 2 \implies 12u^2 - 8u + 1 = 0$.આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$(6u - 1)(2u - 1) = 0$,તેથી $u = \frac{1}{6}$ અથવા $u = \frac{1}{2}$.$b^2 = u$ હોવાથી,$b = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ અથવા $b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.$b$ ની દરેક કિંમત માટે એક અનન્ય મેટ્રિક્સ $X$ મળે છે. આમ,કુલ $4$ ઉકેલો મળે છે,જે $2$ કરતા વધારે છે.

મેટ્રિક્સ સમીકરણ $X^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો:

જો $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો છે,જેથી $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$ થાય,તો $(A^2BA^{-1}B^{-1})^3$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $A$ અને $B$ બે અસામાન્ય (non-singular) વિસંમિત (skew-symmetric) શ્રેણિકો છે જેથી $AB = BA$ થાય. તો $A^{2} B^{2} (A^{\top} B)^{-1} (A B^{-1})^{\top}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module