मैट्रिक्स समीकरण X^2 = begin{bmatrix} 1 & 1 | vedclass

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Question

(A) माना $X = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$.तब $X^2 = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix} = \begin{

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$2$ से अधिक

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(A) माना $X = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$.तब $X^2 = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 2 & 3 \end{bmatrix}$.तत्वों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:$1) a^2 + bc = 1$$2) b(a + d) = 1$$3) c(a + d) = 2$$4) bc + d^2 = 3$$(2)$ और $(3)$ से,$\frac{c}{b} = 2$,अतः $c = 2b$.$(4)$ में से $(1)$ घटाने पर,$d^2 - a^2 = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(d - a)(d + a) = 2$.$(2)$ से,$a + d = \frac{1}{b}$. इस मान को पिछले समीकरण में रखने पर,$d - a = 2b$ प्राप्त होता है।$d - a = 2b$ और $d + a = \frac{1}{b}$ को जोड़ने और घटाने पर,$d = b + \frac{1}{2b}$ और $a = \frac{1}{2b} - b$ प्राप्त होता है।$a$ और $c$ के मान को $a^2 + bc = 1$ में रखने पर,$(\frac{1}{2b} - b)^2 + b(2b) = 1$ प्राप्त होता है।$\frac{1}{4b^2} - 1 + b^2 + 2b^2 = 1 \implies 3b^2 + \frac{1}{4b^2} = 2$.माना $u = b^2$. तब $3u + \frac{1}{4u} = 2 \implies 12u^2 - 8u + 1 = 0$.इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,$(6u - 1)(2u - 1) = 0$,अतः $u = \frac{1}{6}$ या $u = \frac{1}{2}$.चूंकि $b^2 = u$,इसलिए $b = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ या $b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.$b$ के प्रत्येक मान के लिए एक अद्वितीय मैट्रिक्स $X$ प्राप्त होता है। अतः,कुल $4$ हल हैं,जो $2$ से अधिक हैं।

मैट्रिक्स समीकरण $X^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ के हलों की संख्या क्या है?

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एक वर्ग आव्यूह $P$,$P^2 = I - P$ को संतुष्ट करता है। यदि $P^n = 5I - 8P$ है,तो $n$ का मान है:

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