मान लीजिए कि A वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $A^2 = I$। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $\operatorname{det}(A^2) = \operatorname{det}(I) = 1$ प्राप्त होता है।चूंकि $\operatorn

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कथन $I$ सत्य है,कथन $II$ असत्य है।

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $A^2 = I$। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $\operatorname{det}(A^2) = \operatorname{det}(I) = 1$ प्राप्त होता है।चूंकि $\operatorname{det}(A^2) = (\operatorname{det}(A))^2$,इसलिए $(\operatorname{det}(A))^2 = 1$,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{det}(A) = 1$ या $\operatorname{det}(A) = -1$ है।यदि $\operatorname{det}(A) = 1$ है,तो $A$ व्युत्क्रमणीय है और $A^2 = I$ का अर्थ है $A = A^{-1}$। एक $2 	imes 2$ आव्यूह के लिए,यदि $\operatorname{det}(A) = 1$ और $A^2 = I$ है,तो $A$ को $I$ या $-I$ होना चाहिए।अतः,यदि $A 
eq I$ और $A 
eq -I$ है,तो $\operatorname{det}(A) = -1$ होना चाहिए। इसलिए,कथन $I$ सत्य है।अब $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$ पर विचार करें। यहाँ $A^2 = I$,$A 
eq I$,और $A 
eq -I$ है।ट्रेस $\operatorname{Tr}(A) = 0 + 0 = 0$ है।चूंकि हमें एक ऐसा मामला मिला है जहाँ $\operatorname{Tr}(A) = 0$ है जबकि $A 
eq \pm I$,इसलिए कथन $II$ असत्य है।

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