z^3+bar{z}=0 के लिए हलों की संख्या है | vedclass

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Question

(A) दिया गया है,$z^3+\bar{z}=0$. मान लीजिए $z=x+iy$. समीकरण में $z$ का मान रखने पर: $(x+iy)^3 + (x-iy) = 0$. विस्तार करने पर: $x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)

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$5$

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(A) दिया गया है,$z^3+\bar{z}=0$. मान लीजिए $z=x+iy$. समीकरण में $z$ का मान रखने पर: $(x+iy)^3 + (x-iy) = 0$. विस्तार करने पर: $x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3 + x - iy = 0$. $x^3 + 3x^2yi - 3xy^2 - iy^3 + x - iy = 0$. वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर: $(x^3 - 3xy^2 + x) + i(3x^2y - y^3 - y) = 0$. वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर: $1) x(x^2 - 3y^2 + 1) = 0$ $2) y(3x^2 - y^2 - 1) = 0$ स्थिति $1$: यदि $x=0$,तो $-y(y^2+1)=0 \Rightarrow y=0$. हल: $(0,0)$. स्थिति $2$: यदि $y=0$,तो $x(x^2+1)=0 \Rightarrow x=0$. हल: $(0,0)$. स्थिति $3$: यदि $x 
eq 0$ और $y 
eq 0$,तो $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ और $3x^2 - y^2 - 1 = 0$. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $4x^2 - 4y^2 = 0 \Rightarrow x^2 = y^2$. $x^2 = y^2$ को $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ में रखने पर: $y^2 - 3y^2 + 1 = 0$ $\Rightarrow 2y^2 = 1$ $\Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. चूंकि $x^2 = y^2$,इसलिए $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. संभावित जोड़े $(x,y)$ हैं: $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$. कुल हल: $(0,0)$ और ऊपर दिए गए $4$ जोड़े,इस प्रकार कुल $5$ हल प्राप्त होते हैं।

$z^3+\bar{z}=0$ के लिए हलों की संख्या है

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