z^3+bar{z}=0 માટે ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે? | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે,$z^3+\bar{z}=0$. ધારો કે $z=x+iy$. સમીકરણમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા: $(x+iy)^3 + (x-iy) = 0$. વિસ્તરણ કરતા: $x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^

Vedclass · Accepted Answer

$5$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે,$z^3+\bar{z}=0$. ધારો કે $z=x+iy$. સમીકરણમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા: $(x+iy)^3 + (x-iy) = 0$. વિસ્તરણ કરતા: $x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3 + x - iy = 0$. $x^3 + 3x^2yi - 3xy^2 - iy^3 + x - iy = 0$. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $(x^3 - 3xy^2 + x) + i(3x^2y - y^3 - y) = 0$. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $1) x(x^2 - 3y^2 + 1) = 0$ $2) y(3x^2 - y^2 - 1) = 0$ કિસ્સો $1$: જો $x=0$,તો $-y(y^2+1)=0 \Rightarrow y=0$. ઉકેલ: $(0,0)$. કિસ્સો $2$: જો $y=0$,તો $x(x^2+1)=0 \Rightarrow x=0$. ઉકેલ: $(0,0)$. કિસ્સો $3$: જો $x 
eq 0$ અને $y 
eq 0$,તો $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ અને $3x^2 - y^2 - 1 = 0$. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $4x^2 - 4y^2 = 0 \Rightarrow x^2 = y^2$. $x^2 = y^2$ ને $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ માં મૂકતા: $y^2 - 3y^2 + 1 = 0$ $\Rightarrow 2y^2 = 1$ $\Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. $x^2 = y^2$ હોવાથી,$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. શક્ય જોડીઓ $(x,y)$ એ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે. કુલ ઉકેલો: $(0,0)$ અને ઉપરની $4$ જોડીઓ,આમ કુલ $5$ ઉકેલો મળે છે.

$z^3+\bar{z}=0$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

જો $i = \sqrt{-1}$ હોય, તો $\frac{e^{xi} + e^{-xi}}{2} = $

ધારો કે $S = \{z \in \mathbb{C} : z^2 + \sqrt{6}iz - 3 = 0\}$. તો $\sum_{z \in S} z^8$ ની કિંમત શોધો:

સમીકરણ $x^3-3x^2+3x-9=0$ ના બીજ ...... છે.

ધારો કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^2-x+2=0$ ના બીજ છે, જ્યાં $\operatorname{Im}(\alpha)>\operatorname{Im}(\beta)$ છે. તો $\alpha^6+\alpha^4+\beta^4-5 \alpha^2$ ની કિંમત શોધો.

$\frac{\sqrt{5 + 12i} + \sqrt{5 - 12i}}{\sqrt{5 + 12i} - \sqrt{5 - 12i}} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module