वक्र y^2 - 2x^3 - 4y + 8 = 0 के उन स्पर्श रेख | vedclass

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Question

(B) माना $P(\alpha, \beta)$ वक्र $y^2 - 2x^3 - 4y + 8 = 0$ पर कोई बिंदु है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} - 6x^2 - 4 \frac{dy}{dx} =

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$2$

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(B) माना $P(\alpha, \beta)$ वक्र $y^2 - 2x^3 - 4y + 8 = 0$ पर कोई बिंदु है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} - 6x^2 - 4 \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है। $\Rightarrow (2y - 4) \frac{dy}{dx} = 6x^2$. $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{6x^2}{2y - 4} = \frac{3x^2}{y - 2}$. अतः,$P(\alpha, \beta)$ पर ढाल $m = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2}$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - \beta = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2} (x - \alpha)$ है। चूँकि स्पर्श रेखा $(1, 2)$ से गुजरती है,इसलिए $2 - \beta = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2} (1 - \alpha)$. $\Rightarrow -(\beta - 2)^2 = 3\alpha^2 (1 - \alpha)$. $\Rightarrow 3\alpha^3 - 3\alpha^2 - \beta^2 + 4\beta - 4 = 0 \dots (i)$. साथ ही,$P(\alpha, \beta)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2\alpha^3 \dots (ii)$. $(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$3\alpha^3 - 3\alpha^2 - (2\alpha^3 + 4\beta - 8) + 4\beta - 4 = 0$. $\Rightarrow \alpha^3 - 3\alpha^2 + 4 = 0$. गुणनखंड करने पर,$(\alpha + 1)(\alpha - 2)^2 = 0$ प्राप्त होता है। यदि $\alpha = -1$,तो $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2(-1)^3 = -2$,अर्थात $\beta^2 - 4\beta + 10 = 0$. विविक्तकर $D = 16 - 40 = -24 यदि $\alpha = 2$,तो $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2(2)^3 = 16$,अर्थात $\beta^2 - 4\beta - 8 = 0$. $\beta$ के लिए हल करने पर,$\beta = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$. इस प्रकार,दो अलग-अलग स्पर्श बिंदु $(2, 2 + 2\sqrt{3})$ और $(2, 2 - 2\sqrt{3})$ प्राप्त होते हैं,जो दो अलग-अलग स्पर्श रेखाएँ देते हैं। अतः,स्पर्श रेखाओं की संख्या $2$ है।

वक्र $y^2 - 2x^3 - 4y + 8 = 0$ के उन स्पर्श रेखाओं की संख्या जो बिंदु $(1, 2)$ से गुजरती हैं,है

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