$1$ થી $1000$ સુધીની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ લખતી વખતે અંક $5$ કેટલી વાર લખવામાં આવશે?

ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. ધારો કે $x$ એ ગણ $S$ ના અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $9$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા છે જેમાં માત્ર એક અંકનું પુનરાવર્તન થાય છે અને તે બરાબર બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે. ધારો કે $y$ એ ગણ $S$ ના અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $9$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા છે જેમાં માત્ર બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે અને તે દરેક બરાબર બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે. તો,

ધારો કે $m = (9n^2 + 54n + 80)(9n^2 + 45n + 54)(9n^2 + 36n + 35)$. તમામ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $m$ ને ભાગતી સૌથી મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ છે?

જો $\sum\limits_{r = 0}^{25} {\left( {^{50}C_r \cdot ^{50 - r}C_{25 - r}} \right) = K\left( {^{50}C_{25}} \right)}$,તો $K$ ની કિંમત શોધો.

$1, 2, 3, ..., 7$ અંકોના પુનરાવર્તન વગરના એવા કેટલા ક્રમચયો છે જેમાં $153$ સ્ટ્રિંગ કે $2467$ સ્ટ્રિંગ ન હોય?

$FARMER$ શબ્દની તમામ ગોઠવણીઓ,અર્થ સાથે અથવા વગર,લખવામાં આવે છે,જેમાં બે $R$ સાથે આવતા હોય તેવા શબ્દોને બાકાત રાખવામાં આવે છે. આ ગોઠવણીઓને અંગ્રેજી શબ્દકોશ મુજબ મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં સૂચિબદ્ધ કરવામાં આવે છે. તો આ સૂચિમાં $FARMER$ શબ્દનો ક્રમ નંબર .... છે.