दो संख्याओं $a$ और $b$ को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $a \in \{2, 4, 6, \ldots, 100\}$ और $b \in \{1, 3, 5, \ldots, 99\}$,इस प्रकार कि $a+b$ को $23$ से विभाजित करने पर शेषफल $2$ प्राप्त हो:

पूर्णांक $n$ और $r$ के लिए,मान लीजिए $\binom{n}{r} = \begin{cases} ^{n}C_{r}, & \text{यदि } n \geq r \geq 0 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$. $k$ का अधिकतम मान जिसके लिए योग $\sum_{i=0}^{k}\binom{10}{i}\binom{15}{k-i} + \sum_{i=0}^{k+1}\binom{12}{i}\binom{13}{k+1-i}$ मौजूद है,वह ...... के बराबर है।

$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ अक्षरों के ऐसे कितने क्रमचय (permutations) हैं जिनमें पहला अक्षर $a_1$ पहले स्थान पर न हो और दूसरा अक्षर $a_2$ दूसरे स्थान पर न हो?

सभी $3$-अंकीय संख्याओं $abc$ (आधार $10$ में) की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $(a \times b \times c) + (a \times b) + (b \times c) + (c \times a) + a + b + c = 29$ है।

यदि $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{\binom{n}{r}}$,तो $\sum_{r=0}^n \frac{r}{\binom{n}{r}} = .....$

${}^{47}C_4 + \sum_{j=1}^5 {}^{(52-j)}C_3$ का मान है