રેખા $y = x - 1$ અને અતિવલય $3x^2 - 4y^2 = 12$ ના સ્પર્શબિંદુના યામ શોધો.

જો બિંદુ $P(x_1, y_1)$ થી પરવલય $y^2 = 4ax$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શજીવા,પરવલય $x^2 = 4by$ ને સ્પર્શતી હોય,તો $P$ નો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે એક અતિવલય $H$ નું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે અને નાભિઓ $x$-અક્ષ પર છે. ધારો કે $C_1$ એ અતિવલય $H$ ને સ્પર્શતું અને ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ છે. ધારો કે $C_2$ એ અતિવલય $H$ ને તેના શિરોબિંદુ પર સ્પર્શતું અને તેની એક નાભિ પર કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ છે. જો $C_1$ અને $C_2$ ના ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) અનુક્રમે $36 \pi$ અને $4 \pi$ હોય,તો $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈ (એકમમાં) કેટલી થાય?

અતિવલય $25x^2 - 9y^2 = 225$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

વિધાન: અતિવલય $9x^2 - 16y^2 = 9$ પરના બિંદુઓ $P(\frac{\pi}{4})$ અને $P(\frac{\pi}{3})$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{1}{4} \sqrt{66 - 32\sqrt{2} - 18\sqrt{3}}$ છે.
કારણ: $x = a \cosh t, y = b \sinh t$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના પ્રચલ સમીકરણો છે.

ધારો કે $PQ$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની જીવા છે, જે $x$-અક્ષને લંબ છે જેથી $OPQ$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ બને, જ્યાં $O$ એ અતિવલયનું કેન્દ્ર છે. જો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{3}$ હોય, તો ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો: