वक्र x^{2}=2 y पर स्थित वह बिंदु जो बिंदु (0, | vedclass

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Question

(C) दिया गया वक्र $x^{2}=2 y$ है। वक्र पर किसी भी बिंदु के लिए,उसके निर्देशांक $(x, y) = (x, x^{2}/2)$ मान लें। बिंदु $(x, x^{2}/2)$ और $(0, 5)$ के बी

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$(2 \sqrt{2}, 4)$

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(C) दिया गया वक्र $x^{2}=2 y$ है। वक्र पर किसी भी बिंदु के लिए,उसके निर्देशांक $(x, y) = (x, x^{2}/2)$ मान लें। बिंदु $(x, x^{2}/2)$ और $(0, 5)$ के बीच की दूरी $D = \sqrt{(x-0)^{2} + (x^{2}/2 - 5)^{2}}$ द्वारा दी जाती है। दूरी को न्यूनतम करने के लिए,हम $f(x) = D^{2} = x^{2} + (x^{2}/2 - 5)^{2} = x^{2} + x^{4}/4 - 5x^{2} + 25 = x^{4}/4 - 4x^{2} + 25$ को न्यूनतम करेंगे। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = x^{3} - 8x$ प्राप्त होता है। $f'(x) = 0$ रखने पर,$x(x^{2} - 8) = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $x = 0$ या $x = \pm 2\sqrt{2}$ मिलता है। द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर,$f''(x) = 3x^{2} - 8$ है। $x = 0$ के लिए,$f''(0) = -8 $x = \pm 2\sqrt{2}$ के लिए,$f''(2\sqrt{2}) = 3(8) - 8 = 16 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)। अतः,दूरी $x = \pm 2\sqrt{2}$ पर न्यूनतम है। $x = \pm 2\sqrt{2}$ के लिए,$y = (\pm 2\sqrt{2})^{2} / 2 = 8/2 = 4$ है। इसलिए,$(0, 5)$ के सबसे निकटतम बिंदु $(\pm 2\sqrt{2}, 4)$ हैं। दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही उत्तर $(2\sqrt{2}, 4)$ है।

वक्र $x^{2}=2 y$ पर स्थित वह बिंदु जो बिंदु $(0,5)$ के सबसे निकट है,है

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