ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 36$ ને દોરેલા લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુઓ કયા વક્ર પર આવેલા છે?

ધારો કે $E_1$ અને $E_2$ બે ઉપવલયો છે જેના કેન્દ્રો ઉગમબિંદુ પર છે. $E_1$ અને $E_2$ ની મુખ્ય અક્ષો અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પર છે. ધારો કે $S$ એ વર્તુળ $x^2+(y-1)^2=2$ છે. રેખા $x+y=3$ એ વક્રો $S, E_1$ અને $E_2$ ને અનુક્રમે $P, Q$ અને $R$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. ધારો કે $PQ=PR=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$. જો $e_1$ અને $e_2$ એ અનુક્રમે $E_1$ અને $E_2$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો સાચું/સાચા વિધાન/વિધાનો કયા છે:
$(A) e_1^2+e_2^2=\frac{43}{40}$
$(B) e_1 e_2=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{10}}$
$(C) |e_1^2-e_2^2|=\frac{5}{8}$
$(D) e_1 e_2=\frac{\sqrt{3}}{4}$

ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ છે.

$(3, 1)$ અને $(1, 1)$ પર નાભિ ધરાવતું ઉપવલય $(1, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

$\frac{x^2}{12-\alpha} + \frac{y^2}{\alpha-10} = 1$ દ્વારા દર્શાવેલ વક્ર એ

ઉપવલય $x^2+4y^2=64$ માં અંતર્ગત મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસની બાજુઓ છે: