वक्र 9y^{2} = x^{3} पर वे बिंदु ज्ञात कीजिए ज | vedclass

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Question

(C) दिए गए वक्र का समीकरण $9y^{2} = x^{3}$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$9(2y) \frac{dy}{dx} = 3x^{2} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}}{18y

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$\left( 4, \pm \frac{8}{3} \right)$

Vedclass · Answer

(C) दिए गए वक्र का समीकरण $9y^{2} = x^{3}$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$9(2y) \frac{dy}{dx} = 3x^{2} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}}{18y} = \frac{x^{2}}{6y}$.बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब की प्रवणता $-\frac{1}{\left(\frac{dy}{dx}ight)_{(x_{1}, y_{1})}} = -\frac{6y_{1}}{x_{1}^{2}}$ है।$(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_{1} = -\frac{6y_{1}}{x_{1}^{2}}(x - x_{1})$ है।इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में व्यवस्थित करने पर:$x_{1}^{2}(y - y_{1}) = -6y_{1}(x - x_{1})$$6y_{1}x + x_{1}^{2}y = 6x_{1}y_{1} + x_{1}^{2}y_{1} = y_{1}(6x_{1} + x_{1}^{2})$.$y_{1}(6x_{1} + x_{1}^{2})$ से विभाजित करने पर:$\frac{x}{\frac{y_{1}(6x_{1} + x_{1}^{2})}{6y_{1}}} + \frac{y}{\frac{y_{1}(6x_{1} + x_{1}^{2})}{x_{1}^{2}}} = 1$.चूंकि अभिलंब समान अंतःखंड बनाता है,हर (denominators) समान होने चाहिए:$\frac{6x_{1} + x_{1}^{2}}{6} = \frac{y_{1}(6x_{1} + x_{1}^{2})}{x_{1}^{2}}$.यह मानते हुए कि $6 + x_{1} 
eq 0$,हमें $\frac{x_{1}}{6} = \frac{y_{1}}{x_{1}} \Rightarrow x_{1}^{2} = 6y_{1}$ प्राप्त होता है।$y_{1} = \frac{x_{1}^{2}}{6}$ को वक्र के समीकरण $9y_{1}^{2} = x_{1}^{3}$ में रखने पर:$9 \left(\frac{x_{1}^{2}}{6}ight)^{2} = x_{1}^{3} \Rightarrow 9 \cdot \frac{x_{1}^{4}}{36} = x_{1}^{3} \Rightarrow \frac{x_{1}^{4}}{4} = x_{1}^{3}$.चूंकि $x_{1} 
eq 0$,इसलिए $x_{1} = 4$.तब $y_{1}^{2} = \frac{4^{3}}{9} = \frac{64}{9} \Rightarrow y_{1} = \pm \frac{8}{3}$.अतः,बिंदु $\left( 4, \pm \frac{8}{3} ight)$ हैं।

वक्र $9y^{2} = x^{3}$ पर वे बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ वक्र का अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है।

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