$4$ इंजीनियरों,$2$ डॉक्टरों और $10$ प्रोफेसरों में से कम से कम $3$ इंजीनियरों और कम से कम $1$ डॉक्टर वाली $12$ व्यक्तियों की समिति बनाने की प्रायिकता क्या है?

एक थैले में $13$ लाल,$14$ हरे और $15$ काली गेंदें हैं। $4$ गेंदें निकालने पर ठीक $2$ काली गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता $P_1$ है। अब प्रत्येक रंग की गेंदों की संख्या दोगुनी कर दी जाती है और $8$ गेंदें निकाली जाती हैं। ठीक $4$ काली गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता $P_2$ है। तो:

यदि प्रथम $20$ पूर्णांकों में से तीन पूर्णांक यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं,तो उनके गुणनफल के सम होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $A$ और $B$ दो परिमित समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः $m$ और $n$ अवयव हैं,जहाँ $m \le n.$ $A$ से $B$ तक के सभी प्रतिचित्रणों (mappings) के समुच्चय से एक प्रतिचित्रण यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। चुने गए प्रतिचित्रण के एकैकी (injection) होने की प्रायिकता क्या है?

$\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है। जब एक निष्पक्ष पासे को $3$ बार फेंका जाता है, यदि $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ पासे पर आने वाली संख्याएँ हैं, तो इस बात की प्रायिकता कि $\beta_1, \beta_2$ और $\beta_3$ समीकरण $\omega^{\beta_1}+\omega^{\beta_2}=-\omega^{\beta_3}$ को संतुष्ट करते हैं, है

यदि प्रथम $100$ प्राकृतिक संख्याओं में से तीन भिन्न संख्याएँ चुनी जाती हैं,तो क्या प्रायिकता है कि चुनी गई सभी संख्याएँ $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य हों?