यादृच्छिक रूप से चुने गए एक वर्ष में $53$ सोमवार होने की प्रायिकता क्या है?

दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,यदि $P(A) = P(A|B) = \frac{1}{4}$ और $P(B|A) = \frac{1}{2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से एक-एक करके बिना प्रतिस्थापन के पत्ते निकाले जाते हैं। पहले इक्के से पहले $10$ पत्ते आने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए कि $1, 2, 3, 4$ लेबल वाली चार गेंदों को यादृच्छिक रूप से बक्सों $B_1, B_2, B_3, B_4$ में रखा जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि ठीक एक बक्सा खाली हो?

$3$ थैले $A, B$ और $C$ हैं। थैले $A$ में $1$ लाल और $2$ हरे गेंद हैं,थैले $B$ में $2$ लाल और $1$ हरा गेंद है और थैले $C$ में केवल $1$ हरा गेंद है। थैले $A$ से एक गेंद निकालकर थैले $B$ में डाली जाती है,फिर थैले $B$ से एक गेंद निकालकर थैले $C$ में डाली जाती है,और अंत में थैले $C$ से एक गेंद निकालकर थैले $A$ में डाली जाती है। जब यह प्रक्रिया पूरी हो जाती है,तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि थैले $A$ में $2$ लाल और $1$ हरा गेंद हो?

आकृति में $6 \times 6$ वर्ग ग्रिड पर विचार करें। मान लीजिए $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ प्रतिच्छेदन बिंदु (चित्र में बिंदु) हैं। हम कहते हैं कि $A_i$ और $A_j$ मित्र हैं यदि वे एक पंक्ति या एक स्तंभ के साथ आसन्न हैं। मान लीजिए कि प्रत्येक बिंदु $A_i$ के चुने जाने की समान संभावना है।
$(1)$ मान लीजिए $p_i$ वह प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए बिंदु के $i$ मित्र हैं,$i=0, 1, 2, 3, 4$। मान लीजिए $X$ एक यादृच्छिक चर है जैसे कि $i=0, 1, 2, 3, 4$ के लिए,प्रायिकता $P(X=i)=p_i$ है। तो $7 E(X)$ का मान क्या है?
$(2)$ बिंदुओं $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ में से दो अलग-अलग बिंदु यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं। मान लीजिए $p$ वह प्रायिकता है कि वे मित्र हैं। तो $7 p$ का मान क्या है?