वृत्तों x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 और 2x^2+2y^2+3x+8 | vedclass

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Question

(D) पहले वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। दूसरे वृत्त के समीकरण $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4

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$g=\frac{3}{4}$ या $f=2$

Vedclass · Answer

(D) पहले वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। दूसरे वृत्त के समीकरण $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ प्राप्त होता है। मूल अक्ष दोनों समीकरणों को घटाने पर प्राप्त होती है: $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$. यह रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती है। वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका केंद्र $(-1,-1)$ और त्रिज्या $r=1$ है। रेखा $Ax+By=0$ के इस वृत्त को स्पर्श करने के लिए,केंद्र $(-1,-1)$ से रेखा की लंबवत दूरी $1$ होनी चाहिए। $\frac{|(2g-\frac{3}{2})(-1) + (2f-4)(-1)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2 + (2f-4)^2}} = 1$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(-(2g-\frac{3}{2}) - (2f-4))^2 = (2g-\frac{3}{2})^2 + (2f-4)^2$. माना $A = 2g-\frac{3}{2}$ और $B = 2f-4$. तब $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,जो $2AB = 0$ में सरल हो जाता है। अतः,$A=0$ या $B=0$. यदि $A=0$,तो $2g-\frac{3}{2}=0 \Rightarrow g=\frac{3}{4}$. यदि $B=0$,तो $2f-4=0 \Rightarrow f=2$.

वृत्तों $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ और $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ की मूल अक्ष (radical axis) वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को स्पर्श करती है। तो

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उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो $x^2+y^2-2x+3y-7=0$,$x^2+y^2+5x-5y+9=0$ और $x^2+y^2+7x-9y+29=0$ तीनों वृत्तों को लंबकोणीय रूप से काटता है।

वृत्तों $x^2 + y^2 = 4$ और $x^2 + y^2 - 8x - 8y + 7 = 0$ के लिए उभयनिष्ठ अनुस्पर्शियों (direct common tangents) की संख्या है:

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