$10 \ cm$ त्रिज्या वाले एक दिए गए शंकु में अंतर्निहित अधिकतम वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले लंबवृत्तीय बेलन की त्रिज्या ($cm$ में) क्या है?

$f(x) = x^3 - 3x + 3$ द्वारा दिए गए फलन $f$ के सभी स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

नीचे दिए गए कथनों का अवलोकन करें :
अभिकथन $(A)$ : $f(x)=x e^{-x}$ का अधिकतम मान $x=1$ पर है।
तर्क $(R)$ : $f^{\prime}(1)=0$ और $f^{\prime \prime}(1) < 0$
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

$108 \ m$ लंबे धातु के तार को मोड़कर एक आयत बनाया जाता है। यदि आयत का क्षेत्रफल अधिकतम है,तो इसकी विमाएँ क्या हैं?

मान लीजिए कि एक फलन $f(x) = \begin{cases} -\ln(3x - [3x]) & ; 3x \neq n, n \in N \\ \ln(\operatorname{sgn}(3x)) & ; 3x = n, n \in N \end{cases}$ है,जहाँ $[.]$ और $\operatorname{sgn}(x)$ क्रमशः महत्तम पूर्णांक फलन और सिग्नल फलन को दर्शाते हैं। तो $x \in (0, 5)$ में उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ $f(x)$ न्यूनतम है।

$3x^2 - 2x^3 = \log_2 (x^2 + 1) - \log_2 x$ समीकरण को संतुष्ट करने वाले हलों की संख्या क्या है?