શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (rank) કેટલો છે?

ચોરસ શ્રેણિકનો ટ્રેસ (trace) તેના વિકર્ણ ઘટકોના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જો $A$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક હોય કે જેથી $A$ નો ટ્રેસ $3$ હોય અને $A^3$ નો ટ્રેસ $-18$ હોય,તો $A$ ના નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધો.

શ્રેણિક $\left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 2 & 3 & 0 & -1 \\ 1 & -6 & 3 & -8\end{array}\right]$ નો નિશ્ચાયક (rank) શોધો.

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$ હોય, તો $f^{\prime}(\pi)$ ની કિંમત શોધો.

જો સમીકરણોની સંહતિ $a_1 x + b_1 y + c_1 z = 0$,$a_2 x + b_2 y + c_2 z = 0$,અને $a_3 x + b_3 y + c_3 z = 0$ નો માત્ર શૂન્યતર ઉકેલ (trivial solution) હોય,તો શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (rank) કેટલો થાય?

જો શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (rank) $3$ હોય, તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.