पानी का अपवर्तनांक $1.33$ है। पानी के नीचे एक व्यक्ति को डूबते हुए सूर्य को देखने के लिए किस दिशा में देखना चाहिए?

मान लीजिए कि $x-z$ समतल दो पारदर्शी माध्यमों के बीच की सीमा है। $z \ge 0$ में माध्यम $1$ का अपवर्तनांक $\sqrt{2}$ है और $z < 0$ में माध्यम $2$ का अपवर्तनांक $\sqrt{3}$ है। माध्यम $1$ में प्रकाश की एक किरण जो सदिश $\overrightarrow{A} = 6\sqrt{3} \widehat{i} + 8\sqrt{3} \widehat{j} - 10\widehat{k}$ द्वारा दी गई है,पृथक्करण के समतल पर आपतित होती है। माध्यम $2$ में अपवर्तन कोण ......$^o$ है।

वायु में यात्रा कर रही प्रकाश की एक किरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$,आवृत्ति $n$,वेग $v$ और तीव्रता $I$ है। यदि यह किरण जल में प्रवेश करती है,तो ये पैरामीटर क्रमशः $\lambda'$,$n'$,$v'$ और $I'$ हो जाते हैं। निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सही है?

जब प्रकाश का हवा से कांच में अपवर्तन होता है,तब

क्रमशः $\mu_1$ और $\mu_2$ अपवर्तनांक वाले $d_1$ और $d_2$ लंबाई के संपर्क में स्थित दो माध्यमों के ऑप्टिकल पथ की लंबाई क्या है?

एक माध्यम के प्रकाशीय गुण सापेक्ष विद्युतशीलता $(\epsilon_r)$ और सापेक्ष चुंबकशीलता $(\mu_r)$ द्वारा नियंत्रित होते हैं। अपवर्तनांक को $n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। सामान्य पदार्थों के लिए $\epsilon_r > 0$ और $\mu_r > 0$ होते हैं और वर्गमूल के लिए धनात्मक चिह्न लिया जाता है। $1964$ में,एक रूसी वैज्ञानिक वी. वेसेलागो ने $\epsilon_r < 0$ और $\mu_r < 0$ वाले पदार्थ के अस्तित्व का प्रतिपादन किया। तब से,ऐसी 'मेटा-मटेरियल्स' प्रयोगशालाओं में बनाई गई हैं और उनके प्रकाशीय गुणों का अध्ययन किया गया है। ऐसे पदार्थों के लिए $n = -\sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ होता है। जैसे ही प्रकाश ऐसे अपवर्तनांक वाले माध्यम में प्रवेश करता है,तरंगें प्रसार की दिशा से दूर यात्रा करती हैं।
$(i)$ उपरोक्त विवरण के अनुसार,दिखाएं कि यदि प्रकाश की किरणें हवा (अपवर्तनांक $= 1$) से ऐसे माध्यम में $2^{nd}$ चतुर्थांश में $\theta_i$ कोण पर प्रवेश करती हैं,तो अपवर्तित किरण $3^{rd}$ चतुर्थांश में होती है।
$(ii)$ सिद्ध कीजिए कि ऐसे माध्यम के लिए स्नेल का नियम लागू होता है।