સમીકરણ x^4+x^3-4x^2+x+1=0 ના બીજને h જેટલા ઘટ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 4 = 0$ મળે. ધારો કે $y = x + \frac{1}{x}$,તો $y^

Vedclass · Accepted Answer

$35$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 4 = 0$ મળે. ધારો કે $y = x + \frac{1}{x}$,તો $y^2 - 2 + y - 4 = 0 \Rightarrow y^2 + y - 6 = 0$. $(y+3)(y-2) = 0$,તેથી $y = 2$ અથવા $y = -3$. જો $x + \frac{1}{x} = 2$,તો $x=1, 1$. જો $x + \frac{1}{x} = -3$,તો $x^2 + 3x + 1 = 0$,તેથી $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$. ધારો કે બીજ $r_1, r_2, r_3, r_4$ છે. બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $\sum r_i r_j = -4$ છે. જ્યારે બીજને $h$ જેટલા ઘટાડવામાં આવે,ત્યારે નવા બીજ $r_i - h$ બને છે. $x^2$ નો નવો સહગુણક $\sum (r_i - h)(r_j - h) = 0$ થાય. આનું વિસ્તરણ $\sum r_i r_j - 3h \sum r_i + 6h^2 = 0$ થાય છે. મૂળ સમીકરણ પરથી,$\sum r_i = -1$ અને $\sum r_i r_j = -4$. આ કિંમતો મૂકતા,$-4 - 3h(-1) + 6h^2 = 0 \Rightarrow 6h^2 + 3h - 4 = 0$. $h$ માં આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. તેથી,$\alpha + \beta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ અને $\alpha \beta = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$. તેથી $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{2}{3}) = \frac{1}{4} + \frac{8}{3} = \frac{35}{12}$. તેથી,$12(\alpha - \beta)^2 = 12 	imes \frac{35}{12} = 35$.

Similar Questions

જો $-1$ એ સમીકરણ $a(x^3+x^2)+bx+c=0$ નું બે વાર પુનરાવર્તિત બીજ હોય,તો $a:b:c=$

ધારો કે $b$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + bx + \frac{1}{b} = 0$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે. તો:

જો $a$ અને $b$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ એવી હોય કે જેથી $2013 + a^2 = b^2$ થાય,તો $ab$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module