वास्तविक संख्याओं पर सभी 2 times 2 आव्यूहों क | vedclass

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Question

(D) एक समूह $(G, \cdot)$ को चार स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना चाहिए: संवृतता,साहचर्य,तत्समक और प्रतिलोम। आव्यूह गुणन के लिए,तत्समक अवयव $I = \begin{bma

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प्रतिलोम स्वयंसिद्ध (Inverse axiom) संतुष्ट नहीं हो सकता है

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(D) एक समूह $(G, \cdot)$ को चार स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना चाहिए: संवृतता,साहचर्य,तत्समक और प्रतिलोम। आव्यूह गुणन के लिए,तत्समक अवयव $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है। हालाँकि,किसी आव्यूह का प्रतिलोम तभी संभव है जब उसका सारणिक शून्य न हो। चूंकि ऐसे $2 	imes 2$ आव्यूह मौजूद हैं जिनका सारणिक $0$ है (अव्युत्क्रमणीय आव्यूह),इसलिए इन आव्यूहों का गुणात्मक प्रतिलोम नहीं होता है। अतः,प्रतिलोम स्वयंसिद्ध समुच्चय के सभी अवयवों के लिए संतुष्ट नहीं होता है,जिससे यह एक समूह नहीं बनता है।

वास्तविक संख्याओं पर सभी $2 \times 2$ आव्यूहों का समुच्चय आव्यूह गुणन के अंतर्गत एक समूह (group) नहीं है क्योंकि

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यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ है,तो $A(\operatorname{adj} A) = $

आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$ के लिए,दर्शाइए कि $A^{3} - 6A^{2} + 5A + 11I = 0$ है। अतः,$A^{-1}$ ज्ञात कीजिए।

यदि $P(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & \cot \theta \\ -\cot \theta & 1 \end{bmatrix}$ और $PQ = I$ है,तो $(\csc^2 \theta)Q$ ज्ञात कीजिए,जहाँ $I$ एक $2 \times 2$ क्रम का तत्समक आव्यूह है।

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