રેખાઓ ${r_1} = 4i - 3j - k + \lambda (i - 4j + 7k)$ અને ${r_2} = i - j - 10k + \mu (2i - 3j + 8k)$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?

જો બિંદુ $P(1, 2, a)$ નું રેખા $L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}$ થી રેખાઓ $L_{1}: \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-a}{b}$ અને $L_{2}: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-a}{c}$ ની દિશામાં અંતર સમાન હોય, તો $a+b+c$ ની કિંમત શોધો.

બિંદુ $(2, -1, 5)$ થી રેખા $\frac{x - 11}{10} = \frac{y + 2}{-4} = \frac{z + 8}{-11}$ પર દોરેલા લંબની લંબાઈ અને લંબપાદ શોધો.

વિધાન-$1$: વિકૃત રેખાઓ $\frac{x+3}{-4} = \frac{y-6}{3} = \frac{z}{2}$ અને $\frac{x+3}{-4} = \frac{y}{1} = \frac{z-7}{1}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $9$ છે.
વિધાન-$2$: બે રેખાઓ વિકૃત રેખાઓ છે જો તેમનીમાંથી પસાર થતું કોઈ સમતલ અસ્તિત્વમાં ન હોય.

ધારો કે રેખા $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}$ માં બિંદુ $(1,0,7)$ નું પ્રતિબિંબ $(\alpha, \beta, \gamma)$ છે. તો નીચેનામાંથી કયું બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માંથી પસાર થતી અને $y$-અક્ષ તથા $z$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\frac{2 \pi}{3}$ અને $\frac{3 \pi}{4}$ ના ખૂણા બનાવતી તથા $x$-અક્ષ સાથે લઘુકોણ બનાવતી રેખા પર આવેલું છે?

જો રેખાઓ $\frac{x+\sqrt{6}}{2}=\frac{y-\sqrt{6}}{3}=\frac{z-\sqrt{6}}{4}$ અને $\frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-2\sqrt{6}}{4}=\frac{z+2\sqrt{6}}{5}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $6$ હોય,તો $\lambda$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોના સરવાળાનો વર્ગ કેટલો થાય?