(xsqrt{1 + y^2})dx + (ysqrt{1 + x^2})dy = 0 क | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $(x\sqrt{1 + y^2})dx + (y\sqrt{1 + x^2})dy = 0$चरों को अलग करने पर:$(x\sqrt{1 + y^2})dx = -(y\sqrt{1 + x^2})dy$दोनों पक्ष

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$\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 + y^2} = c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $(x\sqrt{1 + y^2})dx + (y\sqrt{1 + x^2})dy = 0$चरों को अलग करने पर:$(x\sqrt{1 + y^2})dx = -(y\sqrt{1 + x^2})dy$दोनों पक्षों को $\sqrt{1 + x^2}\sqrt{1 + y^2}$ से विभाजित करने पर:$\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}dx = -\frac{y}{\sqrt{1 + y^2}}dy$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}dx = -\int \frac{y}{\sqrt{1 + y^2}}dy$माना $u = 1 + x^2$,तब $du = 2xdx$,अर्थात $xdx = \frac{1}{2}du$। इसी प्रकार $y$ के लिए:$\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = -\frac{1}{2} \int v^{-1/2} dv$$\sqrt{u} = -\sqrt{v} + C$$u$ और $v$ के मान वापस रखने पर:$\sqrt{1 + x^2} = -\sqrt{1 + y^2} + C$$\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 + y^2} = C$अतः,सही विकल्प $A$ है।

$(x\sqrt{1 + y^2})dx + (y\sqrt{1 + x^2})dy = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

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यदि $y(x)$ अवकल समीकरण $(x+2) \frac{dy}{dx} = x^2+4x-9, x \neq -2$ का हल है और $y(0) = 0$ है,तो $y(-4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $x = x(y)$ अवकल समीकरण $y = (x - y \frac{dx}{dy}) \sin(\frac{x}{y})$,$y > 0$ और $x(1) = \frac{\pi}{2}$ का हल है। तो $\cos(x(2))$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $(2 y-1) dx - (2 x+3) dy = 0$ का व्यापक हल है

यदि $\frac{dy}{dx} + 2x \tan(x-y) = 1$ है, तो $\sin(x-y)$ का मान क्या होगा?

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