माना x = x(y) अवकल समीकरण y = (x - y frac{dx} | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y = (x - y \frac{dx}{dy}) \sin(\frac{x}{y})$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y dy = (x dy - y dx) \sin(x/y)$.$y^2$ से भाग

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$2(\ln 2)^2 - 1$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y = (x - y \frac{dx}{dy}) \sin(\frac{x}{y})$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y dy = (x dy - y dx) \sin(x/y)$.$y^2$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{x dy - y dx}{y^2} \sin(x/y)$.हम जानते हैं कि $d(x/y) = \frac{y dx - x dy}{y^2}$,इसलिए $\frac{x dy - y dx}{y^2} = -d(x/y)$.अतः,$\frac{dy}{y} = -\sin(x/y) d(x/y)$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y} dy = -\int \sin(x/y) d(x/y)$.$\ln y = \cos(x/y) + C$.शर्त $x(1) = \pi/2$ का उपयोग करने पर: $\ln(1) = \cos(\frac{\pi/2}{1}) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.इसलिए,$\ln y = \cos(x/y)$.$y = 2$ के लिए,$\ln 2 = \cos(x/2)$.हमें $\cos(x(2))$ ज्ञात करना है। $\cos(x) = 2 \cos^2(x/2) - 1$ सूत्र का उपयोग करने पर:$\cos(x(2)) = 2(\ln 2)^2 - 1$.

माना $x = x(y)$ अवकल समीकरण $y = (x - y \frac{dx}{dy}) \sin(\frac{x}{y})$,$y > 0$ और $x(1) = \frac{\pi}{2}$ का हल है। तो $\cos(x(2))$ का मान ज्ञात कीजिए:

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