अवकल समीकरण (1+e^{-x})(1+y^2) frac{dy}{dx} = | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+e^{-x})(1+y^2) \frac{dy}{dx} = y^2$ चरों को अलग करने पर: $\frac{1+y^2}{y^2} dy = \frac{1}{1+e^{-x}} dx$ चूंकि $\frac{1}{

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$y^2=1+y \log (\frac{1+e^x}{2})$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+e^{-x})(1+y^2) \frac{dy}{dx} = y^2$ चरों को अलग करने पर: $\frac{1+y^2}{y^2} dy = \frac{1}{1+e^{-x}} dx$ चूंकि $\frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x+1}$,इसलिए: $\int (y^{-2} + 1) dy = \int \frac{e^x}{e^x+1} dx$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\frac{1}{y} + y = \log(1+e^x) + C$ $y$ से गुणा करने पर: $y^2 - 1 = y \log(1+e^x) + Cy$ $y^2 - 1 = y(\log(1+e^x) + C)$ वक्र बिंदु $(0,1)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0, y=1$ रखने पर: $1^2 - 1 = 1(\log(1+e^0) + C) \Rightarrow 0 = \log(2) + C \Rightarrow C = -\log(2)$ $C$ का मान समीकरण में रखने पर: $y^2 - 1 = y(\log(1+e^x) - \log(2))$ $y^2 - 1 = y \log(\frac{1+e^x}{2})$ $y^2 = 1 + y \log(\frac{1+e^x}{2})$

अवकल समीकरण $(1+e^{-x})(1+y^2) \frac{dy}{dx} = y^2$ का हल,जो बिंदु $(0,1)$ से होकर गुजरता है,है

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