अवकल समीकरण e^{frac{dy}{dx}} = x+1 का हल ज्ञा | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $e^{\frac{dy}{dx}} = x+1$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \log_{e}(x+1)$ प्राप्त होता है। दोनों

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$y = (x+1) \log(x+1) - x + 5$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $e^{\frac{dy}{dx}} = x+1$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \log_{e}(x+1)$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int dy = \int \log_{e}(x+1) dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \log_{e}(x+1)$ और $dv = dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x+1} dx$ और $v = x+1$ प्राप्त होता है। $\int \log_{e}(x+1) dx = (x+1) \log_{e}(x+1) - \int \frac{x+1}{x+1} dx = (x+1) \log_{e}(x+1) - x + C$। अतः,$y = (x+1) \log_{e}(x+1) - x + C$। प्रारंभिक शर्त $y(0) = 5$ का उपयोग करने पर,$x=0$ और $y=5$ रखने पर: $5 = (0+1) \log_{e}(0+1) - 0 + C \Rightarrow 5 = 1 \cdot \log_{e}(1) - 0 + C \Rightarrow 5 = 0 - 0 + C \Rightarrow C = 5$। अतः,हल $y = (x+1) \log_{e}(x+1) - x + 5$ है।

अवकल समीकरण $e^{\frac{dy}{dx}} = x+1$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ प्रारंभिक शर्त $y(0) = 5$ और $x \in (-1, \infty)$ है।

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