વિકલ સમીકરણ (3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ છે. પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy + y^2}{x^2 + xy}$ મળે. આ એક સુરેખ સમઘાત વિક

Vedclass · Accepted Answer

$x^2(2xy + y^2) = c^2$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ છે. પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy + y^2}{x^2 + xy}$ મળે. આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$. આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{3x^2v + x^2v^2}{x^2 + x^2v} = -\frac{3v + v^2}{1 + v}$. $x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v + v^2}{1 + v} - v = -\frac{3v + v^2 + v + v^2}{1 + v} = -\frac{2v^2 + 4v}{1 + v} = -\frac{2v(v + 2)}{v + 1}$. ચલને અલગ કરતા: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} dv = -\frac{2}{x} dx$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2} \Rightarrow v + 1 = A(v + 2) + Bv$. $v = 0$ માટે,$A = 1/2$ અને $v = -2$ માટે,$B = 1/2$ મળે. તેથી,$\int (\frac{1}{2v} + \frac{1}{2(v + 2)}) dv = -\int \frac{2}{x} dx$. $\frac{1}{2} \ln|v| + \frac{1}{2} \ln|v + 2| = -2 \ln|x| + C'$. $\ln|v(v + 2)x^4| = C'' \Rightarrow v(v + 2)x^4 = c^2$. $v = y/x$ મૂકતા: $\frac{y}{x}(\frac{y}{x} + 2)x^4 = c^2 \Rightarrow y(y + 2x)x^2 = c^2 \Rightarrow x^2(y^2 + 2xy) = c^2$.

વિકલ સમીકરણ $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $x^{2} \frac{dy}{dx} = x^{2} + xy - 2y^{2}$ એ સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $(x-y) dy - (x+y) dx = 0$ એ એક સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો ઉકેલ મેળવો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y-3}{2x+y-3}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$(2, 1)$ માંથી પસાર થતા વક્ર માટે $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{x^2+y^2}{2xy}$ છે,તો વક્રનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module