अवकल समीकरण (1+x) frac{dy}{dx} - xy = 1-x का | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x) \frac{dy}{dx} - xy = 1-x$. इसे मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखने के लिए $(1+x)$ से भाग देने पर: $\fra

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$y(1+x) = x + ce^x$,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x) \frac{dy}{dx} - xy = 1-x$. इसे मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखने के लिए $(1+x)$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}y = \frac{1-x}{1+x}$. यहाँ,$P(x) = -\frac{x}{1+x} = -1 + \frac{1}{1+x}$ और $Q(x) = \frac{1-x}{1+x}$. समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (-1 + \frac{1}{1+x}) dx} = e^{-x + \ln(1+x)} = (1+x)e^{-x}$. व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है। $y(1+x)e^{-x} = \int (\frac{1-x}{1+x}) (1+x)e^{-x} dx + c = \int (1-x)e^{-x} dx + c$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int (1-x)e^{-x} dx = (1-x)(-e^{-x}) - \int (-1)(-e^{-x}) dx = -(1-x)e^{-x} - \int e^{-x} dx = (x-1)e^{-x} + e^{-x} + c = xe^{-x} + c$. अतः,$y(1+x)e^{-x} = xe^{-x} + c$. दोनों पक्षों को $e^x$ से गुणा करने पर,हमें $y(1+x) = x + ce^x$ प्राप्त होता है।

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