अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + frac{y}{x} = sin x | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = \sin x$ है। सबसे पहले,हम समाकलन गुण

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$x(y + \cos x) = \sin x + c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = \sin x$ है। सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$. व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर: $yx = \int (\sin x \cdot x) dx + c$. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए $(\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx)$: माना $u = x$ और $v = \sin x$. $yx = x(-\cos x) - \int (1 \cdot -\cos x) dx + c$. $yx = -x \cos x + \int \cos x dx + c$. $yx = -x \cos x + \sin x + c$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $yx + x \cos x = \sin x + c$. $x(y + \cos x) = \sin x + c$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ का हल है

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मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$,$(x > 1)$ का हल है। यदि $2y(2) = \ln 4 - 1$ है,तो $y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{3}y = 1$ का हल है

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