अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = 3$ का हल किसका परिवार दर्शाता है?

समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - y - 2}{x^2 + 2x - 3}$ का हल ज्ञात कीजिए।

यदि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $2x^{2} \frac{dy}{dx} - 2xy + 3y^{2} = 0$ का हल है और $y(e) = \frac{e}{3}$ है,तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $S$ अवकल समीकरण $\frac{y^2 e^{-1 / y}}{\sqrt{x}} dx - 2 \sec \sqrt{x} dy = 0$ के व्यापक हल द्वारा दिए गए वक्रों का परिवार है। तो $S$ से संबंधित और $(\pi^2, 1)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि अवकल समीकरण $x \sqrt{x^2-1} dy - y \sqrt{y^2-1} dx = 0$ का एक हल $y=y(x)$ है जो $y(2) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ को संतुष्ट करता है।
$STATEMENT-1$: $y(x) = \sec \left(\sec^{-1} x - \frac{\pi}{6}\right)$
$STATEMENT-2$: $y(x)$ को $\frac{1}{y} = \frac{2\sqrt{3}}{x} - \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}$ द्वारा दिया गया है।

अवकल समीकरण $\sec(x-y+1) dy = dx$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।