यदि y = y(x) अवकल समीकरण 2x^{2} frac{dy}{dx} | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2x^{2} \frac{dy}{dx} - 2xy + 3y^{2} = 0$.$2x^{2}$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = -\frac{3}{2} \left(\fr

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$\frac{2}{3}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2x^{2} \frac{dy}{dx} - 2xy + 3y^{2} = 0$.$2x^{2}$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = -\frac{3}{2} \left(\frac{y}{x}\right)^{2}$.माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} - v = -\frac{3}{2} v^{2}$.$x \frac{dv}{dx} = -\frac{3}{2} v^{2}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v^{2}} = -\frac{3}{2} \frac{dx}{x}$.समाकलन करने पर: $-\frac{1}{v} = -\frac{3}{2} \ln|x| + C$.$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x}{y} = -\frac{3}{2} \ln|x| + C$.शर्त $y(e) = \frac{e}{3}$ का उपयोग करने पर: $-\frac{e}{e/3} = -\frac{3}{2} \ln(e) + C \implies -3 = -\frac{3}{2} + C \implies C = -\frac{3}{2}$.अतः,$-\frac{x}{y} = -\frac{3}{2} \ln|x| - \frac{3}{2}$.$x = 1$ के लिए: $-\frac{1}{y} = -\frac{3}{2} \ln(1) - \frac{3}{2} \implies -\frac{1}{y} = -\frac{3}{2} \implies y = \frac{2}{3}$.

यदि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $2x^{2} \frac{dy}{dx} - 2xy + 3y^{2} = 0$ का हल है और $y(e) = \frac{e}{3}$ है,तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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