अवकल समीकरण y sin left(frac{x}{y}right) dx = | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y \sin \left(\frac{x}{y}\right) dx = \left\{x \sin \left(\frac{x}{y}\right) - y\right\} dy$ है।$dy \cdot y \sin \left(\frac{

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उपरोक्त में से कोई नहीं

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $y \sin \left(\frac{x}{y}\right) dx = \left\{x \sin \left(\frac{x}{y}\right) - y\right\} dy$ है।$dy \cdot y \sin \left(\frac{x}{y}\right)$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} - \frac{1}{\sin(x/y)}$ प्राप्त होता है।माना $v = \frac{x}{y}$, तब $x = vy$, और $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$।इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + y \frac{dv}{dy} = v - \frac{1}{\sin v}$।यह सरल होकर $y \frac{dv}{dy} = -\frac{1}{\sin v}$ हो जाता है।चरों को अलग करने पर: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{dy}{y}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\cos v = -\log_e |y| + C$, जो सरल होकर $\cos v = \log_e |y| + C$ हो जाता है।$v = \frac{x}{y}$ रखने पर: $\cos \left(\frac{x}{y}\right) = \log_e |y| + C$।दिया गया है $y(\pi/4) = 1$, अतः $x = \pi/4$ और $y = 1$ पर: $\cos(\pi/4) = \log_e(1) + C \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{\sqrt{2}}$।अतः, हल $\cos \left(\frac{x}{y}\right) = \log_e y + \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

अवकल समीकरण $y \sin \left(\frac{x}{y}\right) dx = \left\{x \sin \left(\frac{x}{y}\right) - y\right\} dy$ का हल, जो $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ को संतुष्ट करता है, है

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