अवकल समीकरण {y^2},dx + ({x^2} - xy + {y^2}),d | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: ${y^2}\,dx + ({x^2} - xy + {y^2})\,dy = 0$पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{{dx}}{{dy}} = -\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{

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${	an ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{y}} ight) + \log y + c = 0$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: ${y^2}\,dx + ({x^2} - xy + {y^2})\,dy = 0$पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{{dx}}{{dy}} = -\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{{y^2}}}$यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $x = vy$,तब $\frac{{dx}}{{dy}} = v + y\frac{{dv}}{{dy}}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + y\frac{{dv}}{{dy}} = -\left( {\frac{{{v^2}{y^2} - vy^2 + {y^2}}}{{{y^2}}}} ight)$$v + y\frac{{dv}}{{dy}} = -({v^2} - v + 1)$$y\frac{{dv}}{{dy}} = -{v^2} + v - 1 - v = -({v^2} + 1)$चरों को अलग करने पर: $\frac{{dv}}{{{v^2} + 1}} = -\frac{{dy}}{y}$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{{dv}}{{{v^2} + 1}} = -\int \frac{{dy}}{y}$${	an ^{ - 1}}(v) = -\log |y| + C$$v = \frac{x}{y}$ वापस रखने पर: ${	an ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{y}} ight) + \log |y| = C$अतः,व्यापक हल ${	an ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{y}} ight) + \log y + c = 0$ है।

अवकल समीकरण ${y^2}\,dx + ({x^2} - xy + {y^2})\,dy = 0$ का व्यापक हल है

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